2015年昆明理工大学843高等代数考研真题

资料内容：
 

真题原文：

昆明理工大学2015年硕士研究生招生入学考试试题(A卷)

考试科目代码：843                考试科目名称 ：高等代数          

考生答题须知
1．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。请考生务必在答题纸上写清题号。
2．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。
3．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。
4．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
一、填空题（每小题3分，共30分）
1. 当=          时，多项式与有公共根。
2. 设是阶方阵，且，则=          。
3. 已知向量组线性相关，则=          。
4. 已知方阵满足，则=          ，=          。
5. 当满足          时，二次型是正定的。
6. 已知数域上线性空间中线性无关的元素组为，令，，，，则子空间
的维数是          ，它的一组基为          。
7. 已知3阶方阵的特征值为，则矩阵的特征值为          ，行列式=          。
8. 设矩阵与相似，则=          ，=          。
9. 欧氏空间中一组基的度量矩阵是          。
10. 设为4维欧氏空间，为的一个标准正交基，子空间，其中，则=          。
二、计算题（共90分）
1. （15分） 计算阶行列式
（其中）。
2. （15分） 讨论取何值时，下列线性方程组
有唯一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时，求通解。
3. （20分） 求一个正交变换，将二次型
化成标准二次型。
4. （20分） 给定的两组基
现定义线性变换满足，
（1） 试求由基到基的过渡矩阵；
（2） 试求在基和基下的矩阵。
5. （20分）在线性空间中定义线性变换为：
    。
（1）求在基下的矩阵；
（2）求出的一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵。
三、证明题 （共30分）
1. （15分） 设是数域上线性空间的线性变换，且满足，求证：
（1） ；
（2） 。
2. （15分） 设是数域，，分别是齐次线性方程组和的解空间。求证：的充分必要条件是只有零解。

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