2016年南京航空航天大学814高等代数考研真题

资料内容：

2016年南京航空航天大学814高等代数考研真题

真题原文：

南京航空航天大学
2016 年硕士研究生招生考试初试试题（ A 卷 ）
科目代码: 814
科目名称: 高等代数 满分: 150 分
注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无
效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
一、(15 分)设矩阵 E 是四阶单位矩阵.
1．计算多项式 f (x) = xE − A ；
2．若 2 2
x − x − 能够整除 f (x) ,求a, b 的值；
3．若−1, 2是 A的两个特征值,求 A的其余特征值.
二、(15 分)设有向量组
1．求a 的值，使得向量组 I 线性相关；
2．求a 的值，使得向量组 I 不能由向量组 II 线性表出；
3．在题 1 和题 2 同时成立的情况下，将向量 T γ = (1, − 2, − 5) 用 1 2 3 β , β , α 线性表出,这里“T ”
表示转置，以下各题相同.
三、(20 分)已知非齐次线性方程组
有三个线性无关的解.
1．证明方程组系数矩阵 A的秩为 2；
2．求a, b 的值;
3．求方程组在超平面 x3 − x4 = 0上的模（长度）最小的特解.
四、(20 分)设n 阶矩阵 A, B 满足方程 AB = 6A + B − 3E ，这里 E 表示n 阶单位矩阵.
1．证明：若λ 是 B 的任一特征值，则λ ≠ 6 ；
2．证明： AB = BA；
3．若 A的伴随矩阵为
五、(20 分)设 3 维实向量空间 3 R 的线性变换Γ 使得
1．求Γ 在基 T T T (1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1) ε 1 = ε 2 = ε 3 = 下的矩阵 A ;
2．若Γ 有三个线性无关的特征向量，求a 的值；
3．若 T α = (2, 3, − 2) 是Γ 的一个特征向量，证明 A 不能与对角矩阵相似，并求 A 的 Jordan
标准形.
六、(20 分)设 A是 3 阶实对称矩阵，三元二次方程
1．求矩阵 A的全部特征值；
2．求正交矩阵 P 的第一列；
3．求矩阵 A .
七、(20 分)设 A是n 阶实反对称矩阵，证明：
1．若 A不可逆，则 A的实特征值只能是 0；
2． 2 A 的特征值均小于或等于 0;
3．若iλ 是 A的一个纯虚数特征值， x + iy 是对应的特征向量（这里 x, y ∈ R , i = −1 n ），则x 与 y 正交．
八、(20 分)设 A, B 是两个n 阶正定矩阵，实可逆矩阵 P 使得
这里 E 表示n 阶单位矩阵，证明：
1．λ λ λn , , , 1 2 L 是矩阵 −1 BA 的全部特征值;
2． A − B 为正定矩阵的充分必要条件是对 −1 BA 的每一个特征值λ ，有 λ < 1;
3．若 2 2 A − B 是正定矩阵，则 A − B 也是正定矩阵.

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