2013年昆明理工大学840高等代数考研真题

资料内容：

2013年昆明理工大学840高等代数考研真题
 

真题原文：

昆明理工大学2013年硕士研究生招生入学考试试题(A卷)

考试科目代码：840                考试科目名称 ：高等代数          

考生答题须知
1． 所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。请考生务必在答题纸上写清题号。
2． 评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。
3． 答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。
4． 答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
1. (15分) 设 是一个素数, 多项式 . 证明:  在有理数域上不可约.
2. (10分) 计算 阶行列式
.
3. (10分) 设向量组 ,  ,  ,  线性无关, 向量 可用它们线性表示, 向量 不能用它们线性表示. 证明向量组 ,  ,  ,  ,  线性无关.
4. (15分) 已知矩阵
,  ,
且矩阵 满足 , 其中 是单位阵, 求 .
5. (15分)  取何值时, 线性方程组

有唯一解、无解、无穷多解? 在有无穷多解时, 求其通解(用向量形式表示).
6. (15分) 设二次型 , 利用正交变换将二次型 化为标准形, 并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
7. (20分) 已知 维线性空间 的一组基 ,  ,  , 设
,  ,  .
(1) 求由基 ,  ,  到基 ,  ,  的过渡矩阵;
(2) 求向量 在基 ,  ,  下的坐标.
8. (20分) 设 维欧氏空间 中元素 在 的标准正交基 ,  ,  下的坐标为 .定义 的变换如下: 对于任意 ,
,
其中 表示 与 的内积.
(1) 证明 是线性变换;
(2) 求 的一组标准正交基 ,  ,  , 使 在该基下的矩阵为对角矩阵.
9.  (15分) 设 矩阵
.
试求 的Jordan标准形.
10. (15分) 设 是数域 上的 维线性空间,  是 的线性变换,  （对任意 ），（ 是 的恒等变换）,  而且 . 求证:
(1)   和 都是 的特征值;
(2)  .

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