2016年南京航空航天大学601数学分析考研真题

资料内容：

2016年南京航空航天大学601数学分析考研真题

真题原文：

南京航空航天大学
2016 年硕士研究生招生考试初试试题（ A 卷 ）
科目代码: 601
科目名称: 数学分析 满分: 150 分
注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无
效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
1. 求极限(每题 6 分，共 12 分)
(1) 设a, b > 0， " , n , ," xb , , x axbx x an-0, n 1 2
1 11 > 2 = + = + = ，求证{ }n x 收敛，并求 n nx →∞lim .
(2)22cos sin1 12 lim 2( x e ) xxxn x −+ − +→∞.
2. 设函数 f ( ) x 在区间 [a, b] 上连续， 0 < α < 1是常数，且对任一 x ∈[a, b]，存在 y ∈[ ] a, b 使得
f ( y) < α f (x) . 证明 f ( ) x 在[ ] a, b 中有零点.（13 分）
3. 设函数 f ( ) x 在[0,1] 上有连续的二阶导函数， f (0) = f (1) = 0，当 x ∈ (0,1) 时， f (x) ≠ 0 . 证明
4( )1 ( )0''≥ ∫ dxf xf x .（13 分）
4. 设 dxxnx I n ∫ = sinsin ，建立一个计算 n I 的递推公式. （12 分）
5. 计算积分 xdx ∫20ln sinπ. (12 分)
6. 讨论反常积分21ln p qdxx x+∞ ∫ 的敛散性.（13 分）
7. 证明级数 2
( 1)nn n n∞=−+ −∑ 条件收敛. （13 分）
8. 设二元函数 f xy (, )具有连续偏导数，满足2 24 f fx y
⎛ ⎞ ∂ ∂⎛ ⎞+ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂⎝ ⎠，函数 g(,) u v 是 f xy (, )通过引入变量代换
x uvy uv⎧ = ⎪⎨ = − ⎪得到，试求满足
2 2g g 2 2 a b uv u v⎛⎞ ⎛⎞ ∂ ∂− =+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ∂ ∂ 中的常数 a b, .（12 分）
9. （12 分） 给定方程 2 2 x y xy + + = sin( ) 0 ，
（1）在原点的邻域内，此方程是否可以唯一确定连续函数 y yx = ( ) 使得 y(0) 0 = ？说明理由.
（2）若存在上述函数 y yx = ( ) ，试求其导函数，并判断在原点邻域内的单调性与极值.
（3）在原点的邻域内，此方程是否可以唯一确定连续函数 x = x y( )使得 x(0) 0 = ？说明理由.
10. 设函数 f xy (,) 以及它的二阶偏导数在全平面连续，且(0,0) 0, 2 - , 2 - f f f xy xyx y∂ ∂ =≤ ≤∂ ∂ ，（借助曲线积分）证明 | (5,4) | 1 f ≤ . （13 分）
11. 设函数 f u( ) 在u = 0 处可导， f (0) = 0, f (0) = a ' , 令 D : x y z 2tz 2 2 2 + + ≤ ，求2 225 01 lim ( )dt Dfx y z V → + t+ + ∫∫∫ .（12 分）
12. 求积分 ( )( )( ) 22 22 2 2 ddd L yz xzxyxyz + ++ ++ v∫ ，其中 L 是球面 2 22 x ++= y z bx 2 与柱面
( ) 2 2 x y ax b a + = >> 2 0 的交线(z ≥ 0) ，L 的方向规定为沿 L 的方向运动时，从 z 轴正向往下看，曲线 L 所围球面部分总在左边. （13 分） 

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