考研数学概率之随机变量及其分布

　　上节我们已经详细阐释了随机事件及其概率这个章节，今天跨考教育数学教研室尹霞老师跟大家一起来具体分析一下，概率论与数理统计的第二章随机事件及其分布该怎么学习。维随机变量及其分布，随机变量是概率论的研究对象，是随机事件的量化产物。这章是二维随机变量的基础，每年必考，有单独直接考查，也经常与二维随机变量相结合去考查。如09年数一和数三第8题考查分布函数的特殊性质，第22题考到了一维离散型随机变量的常见分布。10年数一、数三第7题考查一维随机变量分布函数的性质(一点处概率)，第8题考查一维连续型随机变量的常见分布及概率密度的充要条件。数一第14题考查利用离散型随机变量的分布律的性质求未知参数，第23题考了常见分布如二项分布。11年数一和数三第7题考查概率密度的充要条件。12年数一第23题求概率密度，数三第7题考了一维随机变量均匀分布的概率密度。13年数一和数三第7题考查一维常见分布中的正态分布，(考查正态分布的标准化和对称性)。数一第14题考了指数分布，22题考查随机变量的分布函数(得分率较低)。14年数三第22题求随机变量的分布函数。

　　一、考试内容

　　1.随机变量

　　2.随机变量分布函数的概念及其性质

　　3.离散型随机变量的概率分布

　　4.连续型随机变量的概率密度

　　5.常见随机变量的分布

　　6.随机变量函数的分布

　　二、考试要求

　　1.理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及其性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.

　　2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布及其应用.

　　3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.

　　4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其

　　应用，其中参数 的指数分布 的概率密度为 .

　　5.会求随机变量函数的分布.

　　三、复习要点

　　1. 分布函数

　　首先要理解分布函数的概念，分布函数表示随机变量位于一点左侧区间的概率。分布函数的定义，在考试中用得比较多，如直接利用分布函数的定义去计算分布函数，连续型随机变量函数求概率密度或者分布函数等。其次，要理解分布函数的性质，包括：一、分布函数的充分必要条件，充要条件中涉及到的三条是判断一个函数能否作为某随机变量分布函数的依据。这个考点，在考研试题的选择题中也常有考查，所以需要考生引起足够的重视。二、通过分布函数去计算概率的一系列公式。关于这些公式，大部分都可以通过分布函数的定义去推导，希望考生在前期学习的时候，可以自己动笔去推导一遍。其实，这个推导的过程，也是进一步理解随机变量分布函数定义的过程。在理解了分布函数概率和常用性质的基础上，建议考生再做一些与该知识点有关的配套练习，再次强化一下这一部分的考点。

　　2. 分布律

　　离散型随机变量的核心就是考察随机变量的分布律，这点凡是涉及到离散型随机变量，不论维数是几维，考查的核心点都是一样的。分布律的写法关键是掌握两个要点。一、随机变量的所有可能取值有哪些，关于这点更多的会与实际问题相结合，考生需要去理解题目中的文字信息，判断随机变量的可能取值。一般来说，列出随机变量所有取值的难度较低，大部分考生可以写出，切勿粗心大意落掉某些取值。二、随机变量取对应值的概率，应该说第二点是写出分布律的重难点。如果题目的背景是与实际问题相结合的，那计算概率的时候一般会用到第一章学过的简单的古典概型的知识，当然也有部分题目，写分布律与实际问题并未结合，那这种题型相对而言就会变得比较简单。另外，关于分布律这一部分的考点，也有个别题目在考查分布律的充分必要条件，那此类题目的难度就更小了。

　　3. 连续型随机变量

　　首先需要考生搞清楚的是概率密度这个概念，很多考生在头脑中百思不得其解的是概率密度究竟表示什么意思?其实，简单的说概率密度表示是随机变量落在单位区间段内的概率。对于概率密度的这个概念作为了解即可，即使不理解对考生做题也没有太大的影响。其次，是概率密度的充要条件，这个是考试常考的一个考点。跟分布函数的充要条件考法类似，在这块也常会考查，下列哪些函数可以作为随机变量的概率密度这样的选择题。另外，是一些小的知识点，如连续型随机变量的分布函数是连续的，连续型随机变量分布函数和概率密度之间的关系，连续型随机变量通过概率密度可以计算随机变量落在某区间内的概率等。

　　四、备考建议

　　同学们一方面多做些题目，尤其是文字叙述的题目，逐渐提高自己分析问题的能力。另一方面花点时间准确理解概率论与数理统计中的基本概念。在复习过程中，可以结合一些实际问题理解概念和公式，也可以通过做一些文字叙述题巩固概念和公式。只要针对每一个基本概念准确的理解，公式理解的准确到位，并且多做些相关题目，再遇到考卷中碰到类似题目时就一定能够轻易读懂和正确解答。

　　概率论与数理统计中的公式不仅要记住，而且要会用，要会用这些公式分析实际中的问题。在这里，推荐一个记忆公式的方法，就是结合实际的例子和模型记忆。比如二向概率公式，你可以用这样一个模型记忆，把一枚硬币重复抛N次，正面朝上的概率是多少呢?这样才是在理解基础上的记忆，记忆的东西既不容易忘，又能够正确运用到题目的解决中。