2017南京航空航天大学814高等代数考研真题

资料内容：
 

2017南京航空航天大学814高等代数真题

真题原文：

南京航空航天大学
2017 年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷 ）
科目代码: 814
科目名称: 高等代数 满分: 150 分
注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无
效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
一、(15 分)设 4 阶矩阵 A的特征多项式是 f x = x − x + x + ax + b 4 3 2 ( ) 5 5 ，且 1| ( ) 2
x − f x ，
这里“|”表示多项式的整除.
1．求a, b 的值；
2．求 A的全部特征值；
3．问： 1 2
x − 是否有可能成为矩阵 A的最小多项式？并说明理由.
二、(15 分) 设V1 是由向量组 T T T (1, 0, 2) , (2, 1, 1) , (3, a, 3) α1 = α 2 = α 3 = 生成的 3 R 的一个 2
维子空间（这里“T ”表示转置，以下各题相同）．
1．求a 的值；
2．求V1 的正交补 ⊥ V1 的维数和基；
3．若V2 是由向量组 T T (1, 1, 0) , (2, 1, 3) β1 = β 2 = 生成的 3 R 的另一个子空间，求V1 ∩V2的维
数和基.
三、(20 分)设有非齐次线性方程组
1．证明对任意实数a ，方程组(I)有无穷多解；
2．求a, b 的值，使得方程组(I)和(II)同解;
3．在方程组(I)和(II)同解的情况下，求方程组在实数域上模最小的特解.
四、(20 分)设 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量α ，使得向量组α α α
2 , A , A 线性无关，且满足
A α = A α − Aα 3 2 2 ，矩阵 ( , , ) 2 P = α Aα A α .
1．求矩阵 B ，使得 −1 A = PBP ；
2．求行列式 E + A ，这里 E 表示单位矩阵；
3．问：矩阵 A是否可以对角化？如能，求与其相似的对角标准形；如不能，求与其相似的
Jordan 标准形.
科目代码：814 科目名称：高等代数 第 2 页 共 2 页
五、(20 分) 设有二次型 
1．写出 f (X ) 在正交变换 X = PY 下的一个标准形；
2．若 f (X ) 为正定二次型，求t 的取值范围；
3．若t = 1，求正定矩阵 B ，使得 2 A = B .
六、(20 分) 设 A是m× n 矩阵， B 是n × m 矩阵，且 ABA = A，证明：
1．秩(AB) = 秩(A) ;
2．非线性方程组 AX = β 有解的充分必要条件是 ABβ = β ；
3．若以 Er 表示r 阶单位矩阵，则 AB 与形如 Er 0 的分块矩阵相似，且r 是 A的秩.
七、(20 分) 设 A, B 是两个n 阶矩阵，且 AB = A − B ，证明：
１． B 可逆的充分必要条件是 A可逆;
２．α 为 B 的特征向量的充分必要条件是α 为 A的特征向量；
３．若 A是正定矩阵，则 B 也是正定矩阵.
八、(20 分) 设Γ 是n 维欧氏空间V 的线性变换，Γ 满足条件：对任意α, β ∈V ，有
(Γ(α), β ) = −(α, Γ(β)) ，这里(⋅ , ⋅)表示欧氏空间上的内积，证明：

1．若Γ 有特征值，则其特征值必为 0；
2．若Γ 没有特征值，则Γ 必可逆；
3． 2 Γ 必有n 个实特征值，其特征值均小于或等于 0;
4．若n 为奇数，则Γ 不可逆． 

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